泰勒展开妙解高考选填比大小问题

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1、什么是泰勒展开

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
——维基百科

泰勒中值定理1：

如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(n\)阶导数，那么存在\(x_0\)的一个邻域，对于该邻域内的任一\(x\)，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\tag{1-1}$$

其中

$$R_n(x)=o((x-x_0)^n)\tag{1-2}$$

公式（1-1）称为函数\(f(x)\)在\(x_0\)处（或按\((x-x_0)\)的幂展开）的带有佩亚诺余项的\(n\)阶泰勒公式,\(R_n(x)\)的表达式（1-2）称为佩亚诺余项.

泰勒中值定理2：
如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域\(U(x_0)\)内有（n+1）阶导数，那么对任一\(x\in U(x_0)\),有

$$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\tag{2-1}$$

其中

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\tag{2-2}\\(\xi介于x,x_0之间)$$

公式（2-1）称为函数\(f(x)\)在\(x_0\)处（或按\((x-x_0)\)的幂展开）的带有拉格朗日余项的\(n\)阶泰勒公式,\(R_n(x)\)的表达式（2-2）称为拉格朗日余项.

2、常用泰勒公式

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^3)$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)$$
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3！}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$$

$$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}+\frac{1\times3}{2\times4}\times\frac{x^5}{5}+\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\times\frac{x^7}{7}+o(x^7)$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$$

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$$

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5) \\$$

3、注意事项

当且仅当\(x\)较小时可利用泰勒公式前几项估算原式。

例如：
\(a=e^{0.3}\)，\(b=\frac{\ln{1.5}}{2}+1\)，\(c=\sqrt{1.5}\).

利用泰勒公式前三项，得\(a\approx1.35\)，\(b\approx1.16\)，\(c\approx1.25\)，易得\(a>c>b\).

按我的经验，值差值在 0.1 左右时，使用泰勒公式效果最佳。

如果值差值较大呢？

例如：\(a=\sin4\)，\(b=\ln{4}\)，\(c=4^{-\frac{1}{4}}\)。

显然，
\(a<0\)，\(b>1\)，\(0<c<1\)，\(b>c>a\)

在这时，如果使用泰勒公式，会发现结果不太符合真实值。这就是因为\(x\)达到了3和4，已经不太适用了。