大家好，本文将带各位从高一的基本不等式开始，一路讲到竞赛所需不等式
准备好在数学的海洋畅游了吗？
基本中的基本
基本不等式链复习
$$\begin{align*} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab} \leq\dfrac{a+b}{2} \leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \end{align*} \tag{1}\label{1}$$
这里不再多讲
证明方法：画椭圆用射影定理，具体不证明了
基本不等式链四者从左到右依次称作 调和平均值，几何平均值，算术平均值，平方平均值
解题方法不讲了，就那几种：比较法，综合法，分析法，放缩法，归纳法，换元法，数形结合，构造法，反证法..具体要讲的话等我有空就可以讲讲
均值不等式
均值不等式实际上是多元基本不等式，在这里以基本不等式链形式呈现
$$\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}} \leq \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{n}a_i } \leq\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i}{n}\leq \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2}{n}} \tag{2}\label{2}$$
上面链接底部便是详细证明了
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伯努利不等式
伯努利不等式是竞赛不等式中最简单的不等式
若实数$$x_{i} (i=1,2,...n)$$各项符号相同，且
$$x_{i}>-1$$
则
$$ (1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n}) \geq1+x_{1}+x_{2}+....+x_{n}\tag{3}\label{3} $$
$\eqref{3}$ 式称为 伯努利不等式
当$$x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x$$时，$\eqref{3}$式变为
$$(1+x)^n\geq1+nx \tag{4}\label{4}$$
幂均不等式
1.设$$a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$$为正实数序列，实数$$r\ne0$$ ,则记：
$$ M_{r}(a)=(\frac{a_{1}^r+a_{2}^r+...+a_{n}^r}{n})^\frac{1}{r}\tag{5}\label{5} $$
$\eqref{5}$式的$$M_{r}$$称为幂平均函数
2.设$$a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$$为正实数序列，实数$$r\ne0$$ 则
$$ M_{r}(a)\leq{M_{s}(a)}\tag{6}\label{6} $$
当$$r\leq{s}$$ 时，$\eqref{6}$式对任何r都成立,即$$M_{r}(a)$$关于r是单调递增函数
$\eqref{6}$式称为幂平均不等式，简称幂均不等式
3.设$$m=(m_{1},m_{2},...m_{n})$$为非负实数序列，且$$m_{1}+m_{2}+...+m_{n}=1$$ ,若$$a=(a_{1},a_{2},...a_{n})$$为正实数序列，且实数$$r\ne0$$,则：
$$ M_{r}^m(a)=(m_{1}a_{1}^r+m_{2}a_{2}^r+...+m_{n}a_{n}^r)^\frac{1}{r}\tag{7}\label{7} $$
$\eqref{7}$式称为加权幂平均函数
4.若$$a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$$为正实数序列，且实数$$r\ne0$$,对$$M_{r}^m(a)$$
则：$$M_{r}^m(a)\leq{M_{s}^m(a)}$$
即:
$$ (m_{1}a_{1}^r+m_{2}a_{2}^r+...+m_{n}a_{n}^r)^\frac{1}{r}\leq(m_{1}a_{1}^s+m_{2}a_{2}^s+...+m_{n}a_{n}^s)^\frac{1}{s}\tag{8}\label{8} $$
当$$r\ne0$$时，$\eqref{8}$式对任何r都成立，即
$M_{r}^m(a)$关于r是单调递增函数,$\eqref{8}$式称为加权平均不等式，简称加权幂均不等式
柯西不等式
基本柯西不等式
若$$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$,$$b_{1},b_{2},...,b_{n}$$均为实数，则
$$ (a_{1}^2+a_{2}^2+...a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^2 \tag{9}\label{9} $$
当$$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...\frac{a_{n}}{b_{n}}$$时，等号成立,$\eqref{9}$式称为柯西不等式
柯西不等式变式
即
$$(\frac{a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}{n})(\frac{b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2}{n})\geq{(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}{n})^2}\tag{10}\label{10}$$
简称:平方均值两乘积，大于积均值平方
我们将$$\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}}{n}$$为积均值，记：$$D_{n}=\sqrt{\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}}{n}}$$
则$$[Q_{n}(a)]^2[Q_{n}(b)]^2\geq[D_{n}(ab)]^4$$
即
$$ \sqrt{Q_{n}(a)Q_{n}(b)}\geq{D_{n}(ab)}\tag{11}\label{11} $$
柯西不等式推论
权方和不等式
若a,b,c,x,y,z为实数，$$x,y,z\geq{0}$$，则
$$ \frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geq{\frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}}\tag{12}\label{12} $$
当$$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$$时，等号成立
$\eqref{12}$式是柯西不等式的推论，称权方和不等式
推论2
若$$a_{1},a_{2},...a_{n}$$和$$b_{1},b_{2},...,b_{n}$$均为实数，则：
$$ \sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}+\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}+...+\sqrt{a_{n}^2+b_{n}^2}\geq{\sqrt {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^2}}\tag{13}\label{13} $$
当$$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$$时，等号成立
推论3
若a,b,c,x,y,z为正实数，则：
$$ \frac{x}{y+z}(a+b)+\frac{y}{z+x}(c+a)+\frac{z}{x+y}(a+b)\geq{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}\tag{14}\label{14} $$
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