本篇文章将来讲解集合论，各位一定要看完无穷理论第一讲再来阅读本文，本文作为补充和为第二讲做铺垫

引理

集合论，是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件

集合论是研究集合的结构、运算及性质的一个数学分支。现代数学这一最重要的基础理论是康托在19世纪70、80年代创立的。由平面(或空间)上一些点组成的集，称为“点集”。一个点集可以是某些孤立的点，也可以是某曲线上或某区域内的所有点。可以把各种几何图形看成是一个点集，然后研究它所包含的点在位置及数量关系方面的共同特征，这样往往能够得到比直观更为深刻的结论。有关点集的基本理论，称为点集论，而集合论讨论比点集更广泛、更抽象的一般集合

复习基础概念(可跳过)

集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o ∈A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A ⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。

数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算：

集合A和B的并集，符号为A ∪ B，是在至少在集合A或B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的联集为集合{1, 2, 3, 4} 。

集合A和B的交集，符号为A ∩ B，是同时在集合A及B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集为集合{2, 3} 。

集合U和A的相对差集，符号为U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相对差集{1,2,3} \ {2,3,4} 为{1} ，而相对差集{2,3,4} \ {1,2,3} 为{4}。当集合A是集合U的子集时，相对差集U \ A也称为集合A在集合U中的补集。若是研究文氏图，集合U为全集时，且可以借由上下文找到全集定义时，会使用A来代替U \ A。

集合A和B的对称差，符号为A △ B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一个出现，没有在其交集中出现的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的对称差为{1,4} ，也是其并集和交集的相对差集(A ∪ B) \ (A ∩ B)，或是二个相对差集的联集(A \ B) ∪ (B \ A)。

集合A和B的笛卡儿积，符号为A × B，是一个由所有可能的有序对(a,b)形成的集合，其中第一个物件是A的成员，第二个物件是B的成员。{1, 2}和{red, white}的笛卡儿积为{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}。

集合A的幂集是指是以A的全部子集为元素的集合，例如集合{1, 2} 的幂集为{ {}, {1}, {2}, {1,2} } 。

一些重要的基本集合包括空集（唯一没有元素的集合），整数集合及实数集合

无限集合

无限集合(infinite set)亦称无穷集合，是一类特殊的集合，它有下面几种定义：1.不是有限集的集合；2.可与其真子集对等的非空集合；3.既不是空集，又不与Mn={1，2，…，n}，n∈N对等的集合。势最小的无限集为可数集，即与自然数集N对等的无限集，可以证明：1.无限集必含有可数子集；2.无限集减去一有限子集仍为无限集；3.任一无限集与一可数集之并与该无限集间存在双射

可数集合

可数集（Countable set），是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应

以下是判断一个集合是可数集合的一些结论。

●按照可数集合的定义，若A为有限集，则A一定是可数集合，否则若A与自然数集之间存在一个一一对应的映射，则A为可数集合。

●若A与某可数集合之间存在一一对应的映射，则A为可数集合。

●若A中所有元素可按某种规律进行排序，则A是可数集合。

●若A是n(>1)个可数集合的并集，则A是可数集合。

●若A是某个已知是可数集合的子集，则A是可数集合。

●若A是可数无穷多个可数集合的并集，则A是可数集合。

●若A是n(>1)个可数集合的笛卡儿乘积，则A是可数集合

不可数集合

设 A 和 B 是两个集合，讨论集合中元素的多少问题，如果 A 和 B 都是有限集，则只需分别数出它们的元素个数，再加以比较即可；但是当 A 和 B都是无限集时，无法数出它们的元素个数，此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合基数的概念，最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合，我们称不是可数集的集合为不可数集

有限集合

有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。例如，由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合，叫做单元素集合，至少含有一个元素的集合叫做非空集合，不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如，如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素，而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格，那么这个集合就是一个空集Φ。在集合论中，约定空集Φ为有限集合， 空集是一切集合的子集。

有限集合还有两种定义方式。

一个是说与自然数串的一个线段对等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。

另一个定义是：不可与其自身的真子集对等的非空集合，以及空集，都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做无限集合。

归纳集

归纳集是一个集合称为归纳集，如果它有下述两个性质：①空集∅在此集内；

②对于此集内的每一个x，x∪{x}也在此集内。集合论的无穷公理保证了存在至少一个归纳集

映射

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。其中，b称为元素a在映射f下的像 ，记作：b=f(a)。a称为b关于映射f的原像。集合A中所有元素的像的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像；（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射

满射，单射

设A和B是两个集合,如果从A到B的对应f:A→B是映射,并且集合B中的每一个元素在集合A中都有原象,那么映射,就叫做从A到B的满射.满射也称到上映射

设f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。

在数学里，单射函数为一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。更精确地说，函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。

另一种说法为，f为单射，当f(a) = f(b)，则a = b(若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。

单射在某些书中也叫入射，可理解成“原不同则像不同”。

双射在第一讲已经讲过，这里不再叙述

真类

类是 不是集合的类。在公理集合论NGB系统中，“类”被区分为“真类”和“集合”，真类与集合都是类，但两者不同，集合是某个类的元素，而真类不能作为类的元素。如所有的集合组成的类就是真类

自然数

对任意集合$a$，称 $a\cup\{a\}$ 为$a$的后继(successor)，记作$S(a)$或 $a^+$

称一个集合$X$为归纳集(inductive set)，如果

$$\varnothing \in X\land\forall x(x\in X\to x^+\in X)$$

全体自然数的集合定义为

$$\mathbb{N}=\left\{n\,\vert\,\forall X[X\ \mathrm{is\ inductive}\to n \in X]\right\}$$

$\mathbb{N}$中的元素称为自然数

通过分离公理和无穷公理，可知$\mathbb{N}$是一个集合，且唯一 (就是最小的归纳集)

$$\varnothing\in M\land \forall x(x\in M\to x^+\in M)\to \mathbb{N}\subseteq M$$

即为归纳原理

序数的数学语言

称集合$T$为传递的(transitive)，如果它的元素都是他的子集

称集合$\alpha$为序数，如果 $\alpha$是传递的，且$\in$是$\alpha$的良序

全体序数构成一个真类，记作$\mathrm{On}$

记$S(\alpha)=\alpha^+=\alpha+1$，如果$\alpha=\beta+1$则称$\alpha$为后继序数

非零的不是后继序数的序数称为极限序数

每一良序集同构于唯一的一个序数

进一步我们称与良序集 $(X,R)$同构的唯一的序数为其序型

记作$\mathrm{type}(X,R)$或$\mathrm{type}(X)$

序数作为自然数的扩张，有自然数上归纳和递归的推广

序数算术

加法

1.$\alpha+0=\alpha$

2.$\alpha+S(\beta)=S(\alpha+\beta)$

3.若$\gamma$是极限序数,$\alpha+\gamma=\textstyle\sup_{\beta<\gamma}(\alpha+\beta)$

乘法

1.$\alpha\cdot0=0$

2.$\alpha\cdot S(\beta)=\alpha\cdot\beta+\alpha$

3.若$\gamma$是极限序数,$\alpha\cdot\gamma=\textstyle\sup_{\beta<\gamma}(\alpha\cdot\beta)$

幂

1.$\alpha^0=1$

2.$\alpha\cdot S(\beta)=\alpha\cdot\beta+\alpha$

3.若$\gamma$是极限序数,$\alpha^\gamma=\textstyle\sup_{\beta<\gamma}(\alpha^\beta)$

注意

1.注意加法不满足交换律，$1+\omega=\sup\{1+n\,\vert\,n<\omega\}=\omega\neq\omega+1$

2.不过是满足结合律和消去律的

加法和乘法也可以定义为

$\alpha+\beta=\mathrm{type}(\{0\}\times\alpha\cup\{1\}\times\beta)$,$\alpha\cdot\beta=\mathrm{type}(\alpha\times\beta)$

基数的数学语言

集合$A$的基数 $\vert A\vert$定义为与其等势的最小的序数，即$\vert A\vert=\min \{\alpha\,\vert\,\vert\alpha\vert=\vert A\vert\}$

这里等式左右的$\vert\cdot\vert$含义略有不同，左侧表示 $A$的基数，右侧表示$\alpha$与$A$等势

对任意集合 $A$存在势不小于$A$的基数

$\omega$是基数，且对任意 $n\in\omega$，$n$是基数；无穷基数$\kappa\geq\omega$是极限序数

对于任意一个基数$\kappa$，存在一个大于它的最小的基数，记作$\kappa^+$，若$\lambda=\kappa^+$ ，则称$\lambda$为后继基数，称不是后继基数的无穷基数为极限基数

常用$\aleph$表示基数

表示基数$\alpha$，我们递归地定义$$\omega_\alpha$$和$$\aleph_\alpha$$如下

1.$$\omega_0=\aleph_0=\omega$$

2.$$\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+$$

3. 对极限基数 $\gamma$，$$\omega_\gamma=\aleph_\gamma=\sup\{\aleph_\alpha\,\vert\,\alpha<\gamma\}$$

$\aleph_\alpha$ 恰好是“第 $\alpha$个无穷基数”

基数算术

$$\kappa+\lambda=|\{0\}\times\kappa\cup\{1\}\times\lambda|$$

$$\kappa\cdot\lambda=|\kappa\times\lambda|$$

$$\kappa^\lambda=|\kappa^\lambda|$$

$A^B$表示集合$B$到集合 $A$的全体映射构成的集合

加法与乘法运算满足交换律、结合律、分配律

幂运算满足 $$\kappa^{(\lambda\cdot\theta)}=(\kappa^\lambda)^\theta,\ \kappa^{(\lambda+\theta)}=\kappa^\lambda\cdot\kappa^\theta$$

有穷基数的运算就是自然数运算

若基数 $\kappa,\lambda$至少有一个无穷，则$\kappa+\lambda=\max(\kappa,\lambda)$

不为0，则$$\kappa\cdot\lambda=\max(\kappa,\lambda)$$

若基数$\kappa,\lambda$满足，$\lambda$无穷，$$2\leq\kappa\leq2^\lambda$$，则$$\kappa^\lambda=2^\lambda=|\mathcal{P}(\lambda)|$$

对任意$$\aleph_\alpha$$有$$2^{\aleph_\alpha}\geq\aleph_{\alpha+1}$$

连续统假设 CH 指的是$$2^{\aleph_0}=\aleph_{1}$$

广义连续统假设 GCH指的是$$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$$

定义$$\textstyle X^{<\alpha}=\bigcup\{\left.X^\beta\,\right|\,\beta<\alpha\}$$，若$\kappa,\lambda$为基数，定义$$\kappa^{<\lambda}=\left|\kappa^{<\lambda}\right|$$

$$\kappa^{<\lambda}=\sup\{\kappa^\theta\,|\,\theta<\lambda\land\theta=|\theta|\}$$ ，其中$\lambda$无穷，$\kappa\geq2$

$$|\alpha|=\alpha$$等价于$\alpha$是基数

定义$$[B]^\theta=\{x\subseteq B\,|\,|x|=\theta\}$$,$$[B]^{<\theta}=\{x\subseteq B\,|\,|x|<\theta\}$$

若$B$是无穷集，对任意自然数 $n$有$|[B]^n|=|[B]^{<\omega}|=|B|$

若$$\aleph_0\leq\theta\leq|B|$$,则$$|[B]^\theta|=|B|^\theta$$,$$|[B]^{<\theta}|=|B|^{<\theta}$$

共尾与不可达基数,奇异基数,极限基数等的数学表达

若承认$\rm GCH$，则有$$(\aleph_n)^{\aleph_0}=\aleph_n\,(2\leq n<\omega)$$,$$(\aleph_{\omega_1})^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_1}$$

但是$$(\aleph_\omega)^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$$，关键在于$$\aleph_\omega$$拥有可数共尾

对于极限序数$$\gamma$$，定义其共尾(cofinality)为

$$\mathrm{cf}(\gamma)=\min\{\mathrm{type}(X)\,|\,X\subseteq\gamma\land\sup(X)=\gamma\}$$

称 $$\gamma$$是正则的(regular)，如果 $$\mathrm{cf}(\gamma)=\gamma$$

称$$\gamma$$是奇异的(singular)，如果 $$\mathrm{cf}(\gamma)<\gamma$$

后继序数的共尾都是 1 ，只有极限序数的共尾是有趣的

对于共尾有如下结论，其中 $$\gamma$$为极限序数

1.若$$A\subseteq\gamma$$且$$\sup(A)=\gamma$$，则$$\mathrm{cf}(\gamma)=\mathrm{cf}(\mathrm{type}(A))$$

2.$$\mathrm{cf}(\mathrm{cf}(\gamma))=\mathrm{cf}(\gamma)$$，于是$$\mathrm{cf}(\gamma)$$是正则的

3.$$\omega\leq\mathrm{cf}(\gamma)\leq|\gamma|\leq\gamma$$

4.若$$\gamma$$是正则的，则$$\gamma$$是一个基数

5.若$$\gamma=\aleph_\alpha$$，其中 $$\alpha$$是极限序数，则$$\mathrm{cf}(\gamma)=\mathrm{cf}(\alpha)$$

6.若$$\gamma=\aleph_\alpha$$，其中$$\alpha$$是0或后继序数，则 $$\gamma$$是正则的(依赖选择公理)

用对角线法可以证明，若 $$\kappa\geq2$$，$$\lambda$$是无穷序数，则 $$\mathrm{cf}(\kappa^\lambda)>\lambda$$

由于$$\mathrm{cf}(2^{\aleph_0})>\omega$$,所以$$2^{\aleph_0}$$不能是$$\aleph_\omega$$

$$\rm Cohen$$证明了$$2^{\aleph_0}$$可以是任何有无穷共尾的基数

如果承认$$\rm GCH$$，且$$\max(\kappa,\lambda)$$无穷

$$\kappa^\lambda=\left\{\begin{array}{c} \lambda^+, & \kappa\leq\lambda \\ \kappa^+, & \mathrm{cf}(\kappa)\leq\lambda<\kappa \\ \kappa, & 1\leq\lambda<\mathrm{cf}(\kappa) \end{array}\right.$$

$\omega$是一个正则的极限基数

而比$\omega$大的正则的极限基数，被称为弱不可达基数

如果它还是强极限的，即对任意$$\lambda<\kappa$$，有$$2^\lambda<\kappa$$

则称它为强不可达基数，或不可达基数

这两种基数的存在性在$$\rm ZFC$$内不可证

若$$\aleph_\kappa$$是弱不可达基数，则$$\aleph_\kappa=\kappa$$

任取 $$\aleph_\gamma$$，构造 $$\alpha_0=\aleph_\gamma$$，$$\alpha_{n+1}=\aleph_{\alpha_n}$$，令$$\alpha=\textstyle\bigcup\{\alpha_n\,|\,n<\omega\}$$

则$$\aleph_\alpha=\alpha$$，而$$\mathrm{cf}(\alpha)=\omega$$ ，这是个奇异基数

贝斯函数

定义贝斯函数(beth function) $$\beth_\xi$$如下:

1.$$\beth_0=\aleph_0=\omega$$

2.$$\beth_{\xi+1}=2^{\beth_\xi}$$

3.对极限序数 $$\eta$$,$$\beth_\eta=\sup\{\beth_\xi\,|\,\xi<\eta\}$$

那么$$\rm CH$$可叙述为$$\beth_1=\aleph_1$$，$$\rm GCH$$可叙述为$$\forall\xi\ \beth_\xi=\aleph_\xi$$

对任意序数$$\xi$$,$$\xi\leq\aleph_\xi\leq\beth_\xi$$,于是$$\beth_\xi=\xi\to\aleph_\xi=\xi$$

(更多和贝斯函数有关的就在无穷理论第二讲中讲解)

层垒谱系

定义集合宇宙$$\mathrm{V}=\{x\,|\,x=x\}$$

对序数$$\alpha$$,递归定义$$V_\alpha$$如下

1.$$V_0=\varnothing$$

2.$$V_{\alpha+1}=\mathcal{P}(V_\alpha)$$

3.对极限序数$$\lambda$$,$$V_\lambda=\textstyle\bigcup_{\beta<\lambda}V_\beta$$

定义 $$\mathrm{WF}=\bigcup_{\alpha\in \mathbf{On}}V_\alpha$$

对任意序数$$\alpha$$，$$V_\alpha$$是传递的

若$$\xi\leq\alpha$$，则$$V_\xi\subseteq V_\alpha$$

若 $$\kappa$$是不可达基数，则$$|V_\kappa|=\kappa$$

称$$R$$在$$A$$上是 良基(well-founded)的，如果$$A$$的非空子集均有极小元

$$\rm V$$和$$\rm WF$$都是真类，$$\rm V$$是所有集合构成的类

实际上$$\rm WF$$就是所有良基的集合构成的类

若$$x\in\rm WF$$，那么最小的满足 $$x\in V_\alpha$$的$$\alpha$$一定是后继序数

于是定义 $$\mathrm{rank}(x)=\min\{\alpha\,|\,x\in V_{\alpha+1}\}$$

1.$$V_\alpha=\{x\in\mathrm{WF}\,|\,\mathrm{rank}(x)<\alpha\}$$

对$$y\in\rm WF$$,若$$x\in y$$，则$$x\in\rm WF$$

对$$x,y\in\rm WF$$，若$$x\in y$$，则$$\mathrm{rank}(x)<\mathrm{rank}(y)$$

对$$y\in\rm WF$$，$$\mathrm{rank}(y)=\sup\{\mathrm{rank}(x)+1\,|\,x\in y\}$$

这说明$$\rm WF$$的集合按照秩分层，每一集合的元素出现在下面的层次中，下层的集合都包含于上层的层次中，称这样的结构为层垒谱系(Cumulative hierarchy)， 是集合论语言的一个模型，且 $$\rm WF$$蕴涵正则公理

$\rm WF$包含所有序数，且它们的秩就是自己

若$$\alpha\in\rm On$$，则$$\alpha\in\rm WF$$且$$\mathrm{rank}(\alpha)=\alpha$$，$$V_\alpha\cap\mathrm{On}=\alpha$$

$\rm WF$对集合论运算封闭

1.若$$x\in\rm WF$$，则$$\textstyle\bigcup x$$，$$\mathcal{P}(x)$$以及$$\{x\}$$都属于$\rm WF$，且它们秩都小于$$\mathrm{rank}(x)+\omega$$

2.若$$x,y\in\rm WF$$，则$$x\times y$$，$$x\cup y$$，$$x\cap y$$，$$\{x,y\}$$，$$(x,y)$$，$$x^y$$都属于$$\rm WF$$，且它们的秩都系小于 $$\mathrm{rank}(x)+\mathrm{rank}(y)+\omega$$

3.$$\mathbb{Z,Q,R}\in V_{\omega+\omega}$$

4.对集合$$x$$，$$x\in\rm WF$$当且仅当$$x\subset\rm WF$$

对任意集合$$x$$，存在一个最小的传递集包含$$x$$，称为 $$x$$的传递闭包，记作$$\mathrm{trcl}(x)$$

1.$$\mathrm{trcl}(x)=\textstyle x\cup\bigcup\{\mathrm{trcl}(y)\,|\,y\in x\}$$

下列命题等价

1.$$X\in\rm WF$$

2.$$\mathrm{trcl}(X)\in\rm WF$$

3.$$\in$$是$$\mathrm{trcl}(X)$$上的良基关系

在$$\mathrm{ZF}^-$$ (即 $$\rm ZFC$$减去正则公理)中下列命题等价

1.正则公理

2.对任意集合$$X$$，$$\in$$是$$X$$上的良基关系

3.$$\mathrm{V}=\mathrm{WF}$$

PS:接下来的东西不是一般人能理解的，我也一并放在这里

模型论(Model theory)

对于集合论语言$$\mathcal L=\{\in\}$$，$$\mathfrak A=(A,E)$$是$$\mathcal L$$的一个结构(structure)，如果$$E=\{(a,b)\in A\times A\,|\,a\in b\}$$

称$$\mathfrak A$$是传递的如果 $$A$$ 是传递的

实际上就是给$$\mathcal L$$中的每个符号指派一个 $$A$$中合适语义实体，而$$E$$就代表了 $$\in$$关系

在一阶逻辑中，合适指的是给$$n$$-元函数符号指派$$n$$-元函数，给$$n$$-元谓词符号指派$$n$$-元关系，给$$0$$-元函数符号指派常数，（给$$0$$-元谓词符号指派真值 $$\{0,1\}=\{F,T\}$$）

对公式$$\varphi(x_1,\cdots,x_n)$$,$$\mathfrak A$$满足$$\varphi$$指的是，存在$$\mathfrak A$$中元素$$a_1,\cdots,a_n$$，如果把自由变元$$x_1,\cdots,x_n$$指派为$$a_1,\cdots,a_n$$，则$$\varphi$$成立

记住$$\mathfrak A\models\varphi[a_1,\cdots,a_n]$$，也记作$$\mathfrak{A}\models\varphi[\sigma]$$，其中$$\sigma=\{(x_1,a_1),\cdots,(x_n,a_n)\}$$

若$$\varphi$$是语句，则$$\mathfrak A\models\varphi$$表示$$\mathfrak A$$是$$\varphi$$的模型，或$$\varphi$$在$$\mathfrak A$$中为真

如果语句集$$\Gamma$$的所有语句都在 $$\mathfrak A$$中为真，则称$$\mathfrak A$$是$$\Gamma$$的模型，记作$$\mathfrak A\models \Gamma$$