2023-02-13

无穷理论（二）集合论第一讲

本篇文章将来讲解集合论，各位一定要看完无穷理论第一讲再来阅读本文，本文作为补充和为第二讲做铺垫.

引理

集合论，是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件.

集合论是研究集合的结构、运算及性质的一个数学分支。现代数学这一最重要的基础理论是康托在19世纪70、80年代创立的。由平面(或空间)上一些点组成的集，称为“点集”。一个点集可以是某些孤立的点，也可以是某曲线上或某区域内的所有点。可以把各种几何图形看成是一个点集，然后研究它所包含的点在位置及数量关系方面的共同特征，这样往往能够得到比直观更为深刻的结论。有关点集的基本理论，称为点集论，而集合论讨论比点集更广泛、更抽象的一般集合.

复习基础概念

集合论是从一个物件 $ o $ 和集合 $ A $ 之间的二元关系开始：若 $ o $ 是 $ A $ 的元素，可表示为 $ o \in A $。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合 $ A $ 中的所有元素都是集合 $ B $ 中的元素，则称集合 $ A $ 为 $ B $ 的子集，符号为 $ A \subseteq B $。例如 $\{1,2\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的子集，但 $\{1,4\}$ 就不是 $\{1,2,3\}$ 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合 $ A $ 为集合 $ B $ 的真子集当且仅当集合 $ A $ 为集合 $ B $ 的子集，且集合 $ B $ 不是集合 $ A $ 的子集。

数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算：

集合 $ A $ 和 $ B $ 的并集，符号为 $ A \cup B $，是在至少在集合 $ A $ 或 $ B $ 中出现的元素，集合 $\{1,2,3\}$ 和集合 $\{2, 3, 4\}$ 的并集为集合 $\{1, 2, 3, 4\}$。
集合 $ A $ 和 $ B $ 的交集，符号为 $ A \cap B $，是同时在集合 $ A $ 及 $ B $ 中出现的元素，集合 $\{1,2,3\}$ 和集合 $\{2, 3, 4\}$ 的交集为集合 $\{2, 3\}$。
集合 $ U $ 和 $ A $ 的相对差集，符号为 $ U \setminus A $，是在集合 $ U $ 中但不在集合 $ A $ 中的所有元素。相对差集 $\{1,2,3\}$ \ $\{2,3,4\}$ 为 $\{1\}$ ，而相对差集 $\{2,3,4\}$ \ $\{1,2,3\}$ 为 $\{4\}$。当集合 $ A $ 是集合 $ U $ 的子集时，相对差集 $ U \setminus A $ 也称为集合 $ A $ 在集合 $ U $ 中的补集。若是研究文氏图，集合 $ U $ 为全集时，且可以借由上下文找到全集定义时，会使用 $ A $ 来代替 $ U \setminus A $。
集合 $ A $ 和 $ B $ 的对称差，符号为 $ A \Delta B $ 或 $ A \oplus B $，是指只在集合 $ A $ 或 $ B $ 中的其中一个出现，没有在它们的交集中出现的元素。例如集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ 的对称差为 $\{1,4\}$，也是它们并集和交集的相对差集 $ (A \cup B) \setminus (A \cap B) $，或是两个相对差集的并集 $ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $。
集合 $ A $ 和 $ B $ 的笛卡儿积，符号为 $ A \times B $，是一个由所有可能的有序对 $ (a,b) $ 形成的集合，其中第一个物件是 $ A $ 的成员，第二个物件是 $ B $ 的成员。$\{1, 2\}$ 和 $\{red, white\}$ 的笛卡儿积为 $\{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)\}$。
集合 $ A $ 的幂集是指以 $ A $ 的全部子集为元素的集合，例如集合 $\{1, 2\}$ 的幂集为 $\{ \{\}, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}$。

一些重要的基本集合包括空集（唯一没有元素的集合）、整数集合及实数集合。

无限集合

无限集合（infinite set）亦称无穷集合，是一类特殊的集合，它有下面几种定义：

不是有限集的集合；
可与其真子集对等的非空集合；
既不是空集，又不与 $ M_n = {1, 2, \ldots, n}, n \in \mathbb{N} $ 对等的集合。

势最小的无限集为可数集，即与自然数集 $ \mathbb{N} $ 对等的无限集。可以证明：

无限集必含有可数子集；
无限集减去一个有限子集仍为无限集；
任一无限集与一个可数集的并集与该无限集间存在双射。

可数集合

可数集合（Countable set），是指每个元素都能与自然数集 $ \mathbb{N} $ 的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数编号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

以下是判断一个集合是可数集合的一些结论：

按照可数集合的定义，若 $ A $ 为有限集，则 $ A $ 一定是可数集合；否则若 $ A $ 与自然数集 $ \mathbb{N} $ 之间存在一个一一对应的映射，则 $ A $ 为可数集合。
若 $ A $ 与某可数集合之间存在一一对应的映射，则 $ A $ 为可数集合。
若 $ A $ 中所有元素可按某种规律进行排序，则 $ A $ 是可数集合。
若 $ A $ 是 $ n (>1) $ 个可数集合的并集，则 $ A $ 是可数集合。
若 $ A $ 是某个已知是可数集合的子集，则 $ A $ 是可数集合。
若 $ A $ 是可数无穷多个可数集合的并集，则 $ A $ 是可数集合。
若 $ A $ 是 $ n (>1) $ 个可数集合的笛卡儿积，则 $ A $ 是可数集合。

不可数集合

设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，讨论集合中元素的多少问题，如果 $ A $ 和 $ B $ 都是有限集，则只需分别数出它们的元素个数，再加以比较即可；但是当 $ A $ 和 $ B $ 都是无限集时，无法数出它们的元素个数。此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合基数的概念，最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合。我们称不是可数集的集合为不可数集合。

有限集合

有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。例如，由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合，叫做单元素集合；至少含有一个元素的集合叫做非空集合；不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母 $ \varnothing $（或 $\{\}$）来表示。例如，如果一个集合是某班的某次数学测验不及格的学生为元素，而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格，那么这个集合就是一个空集 $ \varnothing $。在集合论中，约定空集 $ \varnothing $ 为有限集合，空集是一切集合的子集。

有限集合还有两种定义方式：

一个是与自然数串的一个线段对等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。
另一个定义是：不可与其自身的真子集对等的非空集合，以及空集，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。

归纳集

归纳集是一个集合称为归纳集，如果它有下述两个性质：

空集 $ \varnothing $ 在此集内；
对于此集内的每一个 $ x $，$ x \cup {x} $ 也在此集内。集合论的无穷公理保证了存在至少一个归纳集。

映射

两个非空集合 $ A $ 与 $ B $ 间存在着对应关系 $ f $，而且对于 $ A $ 中的每一个元素 $ a $，$ B $ 中总有唯一的一个元素 $ b $ 与之对应，就这种对应为从 $ A $ 到 $ B $ 的映射，记作 $ f: A \to B $。其中，$ b $ 称为元素 $ a $ 在映射 $ f $ 下的像，记作：$ b = f(a) $。$ a $ 称为 $ b $ 关于映射 $ f $ 的原像。集合 $ A $ 中所有元素的像的集合称为映射 $ f $ 的值域，记作 $ f(A) $。

或者说，设 $ A, B $ 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 $ f $，使对于集合 $ A $ 中的任意一个元素 $ a $，在集合 $ B $ 中都有唯一的元素 $ b $ 与之对应，那么就称对应 $ f: A \to B $ 为从集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的一个映射。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。一一映射（双射）是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

注意：

对于 $ A $ 中不同的元素，在 $ B $ 中不一定有不同的像；
$ B $ 中每个元素都有原像（即满射），且集合 $ A $ 中不同的元素在集合 $ B $ 中都有不同的像（即单射），则称映射 $ f $ 建立了集合 $ A $ 和集合 $ B $ 之间的一个一一对应关系，也称 $ f $ 是 $ A $ 到 $ B $ 上的一一映射。

满射，单射

设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，如果从 $ A $ 到 $ B $ 的对应 $ f: A \to B $ 是映射，并且集合 $ B $ 中的每一个元素在集合 $ A $ 中都有原象，则称映射 $ f $ 为从 $ A $ 到 $ B $ 的满射。满射也称为到上映射。

设 $ f $ 是由集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的映射，如果所有 $ x, y \in A $，且 $ x \neq y $，都有 $ f(x) \neq f(y) $，则称 $ f $ 为由 $ A $ 到 $ B $ 的单射。

在数学里，单射函数为一函数，其将不同的参数连接至不同的值上。更精确地说，函数 $ f $ 被称为是单射时，对每一值域内的 $ y $，存在至多一个定义域内的 $ x $ 使得 $ f(x) = y $。

另一种说法为，$ f $ 为单射，当 $ f(a) = f(b) $，则 $ a = b $（若 $ a \neq b $，则 $ f(a) \neq f(b) $，其中 $ a, b $ 属于定义域。

单射在某些书中也叫入射，可理解成“原不同则像不同”。

双射在第一讲已经讲过，这里不再叙述。

真类

类是不是集合的类。在公理集合论 NGB 系统中，“类”被区分为“真类”和“集合”，真类与集合都是类，但两者不同，集合是某个类的元素，而真类不能作为类的元素。如所有的集合组成的类就是真类。

自然数

对任意集合 $ a $，称 $ a \cup {a} $ 为 $ a $ 的后继（successor），记作 $ S(a) $ 或 $ a^+ $。

称一个集合 $ X $ 为归纳集（inductive set），如果

$$ \varnothing \in X \land \forall x (x \in X \to x^+ \in X) $$

全体自然数的集合定义为

$$ \mathbb{N} = \left\{ n \, \vert \, \forall X [X \ \mathrm{is\ inductive} \to n \in X] \right\} $$

$ \mathbb{N} $ 中的元素称为自然数。

通过分离公理和无穷公理，可知 $ \mathbb{N} $ 是一个集合，且唯一（就是最小的归纳集）。

$$ \varnothing \in M \land \forall x (x \in M \to x^+ \in M) \to \mathbb{N} \subseteq M $$

即为归纳原理。

序数的数学语言

称集合 $ T $ 为传递的（transitive），如果它的元素都是它的子集。

称集合 $ \alpha $ 为序数，如果 $ \alpha $ 是传递的，并且 $ \in $ 是 $ \alpha $ 的良序。

全体序数构成一个真类，记作 $ \mathrm{On} $。

记 $ S(\alpha) = \alpha^+ = \alpha + 1 $，如果 $ \alpha = \beta + 1 $ 则称 $ \alpha $ 为后继序数。非零且不是后继序数的序数称为极限序数。每一个良序集同构于唯一的一个序数。进一步，我们称与良序集 $ (X,R) $ 同构的唯一序数为其序型，记作 $ \mathrm{type}(X,R) $ 或 $ \mathrm{type}(X) $。

序数作为自然数的扩展，有自然数上的归纳和递归的推广。

序数算术

加法

$ \alpha + 0 = \alpha $
$ \alpha + S(\beta) = S(\alpha + \beta) $
若 $ \gamma $ 是极限序数，则 $ \alpha + \gamma = \sup_{\beta < \gamma} (\alpha + \beta) $

乘法

$ \alpha \cdot 0 = 0 $
$ \alpha \cdot S(\beta) = \alpha \cdot \beta + \alpha $
若 $ \gamma $ 是极限序数，则 $ \alpha \cdot \gamma = \sup_{\beta < \gamma} (\alpha \cdot \beta) $

幂

$ \alpha^0 = 1 $
$ \alpha^1 = \alpha $
若 $ \gamma $ 是极限序数，则 $ \alpha^\gamma = \sup_{\beta < \gamma} (\alpha^\beta) $

注意

加法不满足交换律，例如 $ 1 + \omega = \sup{1 + n \,|\, n < \omega} = \omega \neq \omega + 1 $，但满足结合律和消去律。

加法和乘法也可以定义为：

$$ \alpha + \beta = \mathrm{type}(\{0\} \times \alpha \cup \{1\} \times \beta), \quad \alpha \cdot \beta = \mathrm{type}(\alpha \times \beta) $$

基数的数学语言

集合 $ A $ 的基数 $ |A| $ 定义为与其等势的最小序数，即 $ |A| = \min { \alpha \,|\, \alpha \text{与} A \text{等势} } $。

对任意集合 $ A $ 存在基数不小于 $ A $。

$ \omega $ 是基数，对任意 $ n \in \omega $，$ n $ 是基数。无穷基数 $ \kappa \geq \omega $ 是极限序数。

对于任意一个基数 $ \kappa $，存在一个大于它的最小基数，记作 $ \kappa^+ $。若 $ \lambda = \kappa^+ $，则称 $ \lambda $ 为后继基数，不是后继基数的无穷基数称为极限基数。常用 $ \aleph $ 表示基数。

表示基数 $ \alpha $，我们递归地定义 $ \omega_\alpha $ 和 $ \aleph_\alpha $ 如下：

$ \omega_0 = \aleph_0 = \omega $
$ \omega_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha+1} = \aleph_\alpha^+ $
对极限基数 $ \gamma $，$ \omega_\gamma = \aleph_\gamma = \sup { \aleph_\alpha \,|\, \alpha < \gamma } $

$ \aleph_\alpha $ 恰好是“第 $ \alpha $ 个无穷基数”。

基数算术

$$ \kappa + \lambda = |\{0\} \times \kappa \cup \{1\} \times \lambda| $$

$$ \kappa \cdot \lambda = |\kappa \times \lambda| $$

$$ \kappa^\lambda = |\kappa^\lambda| $$

$ A^B $ 表示集合 $ B $ 到集合 $ A $ 的全体映射构成的集合。

加法与乘法运算满足交换律、结合律、分配律。

幂运算满足 $ \kappa^{(\lambda \cdot \theta)} = (\kappa^\lambda)^\theta, \ \kappa^{(\lambda + \theta)} = \kappa^\lambda \cdot \kappa^\theta $。

若基数 $ \kappa, \lambda $ 至少有一个无穷，则 $ \kappa + \lambda = \max(\kappa, \lambda) $。

若基数 $ \kappa, \lambda $ 满足 $ \lambda $ 无穷，则 $ \kappa \cdot \lambda = \max(\kappa, \lambda) $。

若基数 $ \kappa, \lambda $ 满足 $ 2 \leq \kappa \leq 2^\lambda $，则 $ \kappa^\lambda = 2^\lambda = |\mathcal{P}(\lambda)| $。

对任意 $ \aleph_\alpha $，有 $ 2^{\aleph_\alpha} \geq \aleph_{\alpha+1} $。

连续统假设 CH 指的是 $ 2^{\aleph_0} = \aleph_{1} $。

广义连续统假设 GCH 指的是 $ 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1} $。

定义 $ X^{<\alpha} = \bigcup {\left. X^\beta \,\right|\, \beta < \alpha } $，若 $ \kappa, \lambda $ 是基数，则定义 $ \kappa^{<\lambda} = \left| \kappa^{<\lambda} \right| $。

$ \kappa^{<\lambda} = \sup { \kappa^\theta \,|\, \theta < \lambda \land \theta = |\theta| } $，其中 $ \lambda $ 无穷，$ \kappa \geq 2 $。

定义 $ |[\mathcal{B}]^\theta| = {x \subseteq \mathcal{B} \,|\, |x| = \theta } $，$ |[\mathcal{B}]^{<\theta}| = {x \subseteq \mathcal{B} \,|\, |x| < \theta } $。

若 $ \mathcal{B} $ 是无穷集，对任意自然数 $ n $，有 $ |[\mathcal{B}]^n| = |[\mathcal{B}]^{<\omega}| = |\mathcal{B}| $。

若 $ \aleph_0 \leq \theta \leq |\mathcal{B}| $，则 $ |[\mathcal{B}]^\theta| = |\mathcal{B}|^\theta $，$ |[\mathcal{B}]^{<\theta}| = |\mathcal{B}|^{<\theta} $。

共尾与不可达基数，奇异基数，极限基数等的数学表达

如果承认 $ \mathrm{GCH} $，则有

$$ (\aleph_n)^{\aleph_0} = \aleph_n \quad (2 \leq n < \omega) $$

$$ (\aleph_{\omega_1})^{\aleph_0} = \aleph_{\omega_1} $$

但是
$$ (\aleph_\omega)^{\aleph_0} = \aleph_{\omega+1} $$
关键在于 $ \aleph_\omega $ 拥有可数共尾。

对于极限序数 $ \gamma $，定义其共尾（cofinality）为
$$ \mathrm{cf}(\gamma) = \min \{ \mathrm{type}(X) \,|\, X \subseteq \gamma \land \sup(X) = \gamma \} $$

称 $ \gamma $ 是正则的（regular），如果 $ \mathrm{cf}(\gamma) = \gamma $。

称 $ \gamma $ 是奇异的（singular），如果 $ \mathrm{cf}(\gamma) < \gamma $。

后继序数的共尾都是 1 ，只有极限序数的共尾是有趣的。

对于共尾有如下结论，其中 $ \gamma $ 为极限序数：

若 $ A \subseteq \gamma $ 且 $ \sup(A) = \gamma $，则 $ \mathrm{cf}(\gamma) = \mathrm{cf}(\mathrm{type}(A)) $。
$ \mathrm{cf}(\mathrm{cf}(\gamma)) = \mathrm{cf}(\gamma) $，因此 $ \mathrm{cf}(\gamma) $ 是正则的。
$ \omega \leq \mathrm{cf}(\gamma) \leq |\gamma| \leq \gamma $。
若 $ \gamma $ 是正则的，则 $ \gamma $ 是一个基数。
若 $ \gamma = \aleph_\alpha $，其中 $ \alpha $ 是极限序数，则 $ \mathrm{cf}(\gamma) = \mathrm{cf}(\alpha) $。
若 $ \gamma = \aleph_\alpha $，其中 $ \alpha $ 是 0 或后继序数，则 $ \gamma $ 是正则的（依赖选择公理）。

用对角线法可以证明，若 $ \kappa \geq 2 $，$ \lambda $ 是无穷序数，则 $ \mathrm{cf}(\kappa^\lambda) > \lambda $。

由于 $ \mathrm{cf}(2^{\aleph_0}) > \omega $，所以 $ 2^{\aleph_0} $ 不能是 $ \aleph_\omega $。

Cohen 证明了 $ 2^{\aleph_0} $ 可以是任何有无穷共尾的基数。

如果承认 $ \mathrm{GCH} $，且 $ \max(\kappa, \lambda) $ 无穷，则
$$ \kappa^\lambda = \begin{cases}\lambda^+, & \kappa \leq \lambda \\\kappa^+, & \mathrm{cf}(\kappa) \leq \lambda < \kappa \\\kappa, & 1 \leq \lambda < \mathrm{cf}(\kappa)\end{cases} $$

$ \omega $ 是一个正则的极限基数。而比 $ \omega $ 大的正则的极限基数被称为弱不可达基数。如果它还是强极限的，即对任意 $ \lambda < \kappa $，有 $ 2^\lambda < \kappa $，则称它为强不可达基数，或不可达基数。这两种基数的存在性在 $ \mathrm{ZFC} $ 内不可证。

若 $ \aleph_\kappa $ 是弱不可达基数，则 $ \aleph_\kappa = \kappa $。

任取 $ \aleph_\gamma $，构造 $ \alpha_0 = \aleph_\gamma $，$ \alpha_{n+1} = \aleph_{\alpha_n} $，令 $ \alpha = \bigcup {\alpha_n \,|\, n < \omega} $，则 $ \aleph_\alpha = \alpha $，而 $ \mathrm{cf}(\alpha) = \omega $，这是个奇异基数。

贝斯函数

定义贝斯函数（beth function） $ \beth_\xi $ 如下：

$ \beth_0 = \aleph_0 = \omega $
$ \beth_{\xi+1} = 2^{\beth_\xi} $
对极限序数 $ \eta $，$ \beth_\eta = \sup { \beth_\xi \,|\, \xi < \eta } $

那么 $ \mathrm{CH} $ 可叙述为 $ \beth_1 = \aleph_1 $， $ \mathrm{GCH} $ 可叙述为 $ \forall \xi \ \beth_\xi = \aleph_\xi $。

对任意序数 $ \xi $，$ \xi \leq \aleph_\xi \leq \beth_\xi $，于是 $ \beth_\xi = \xi \to \aleph_\xi = \xi $。

（更多和贝斯函数有关的内容在无穷理论第二讲中讲解）

层垒谱系

定义集合宇宙 $\mathrm{V} = { x \,|\, x = x }$。

对序数 $\alpha$，递归定义 $V_\alpha$ 如下：

$V_0 = \varnothing$
$V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha)$
对极限序数 $\lambda$，$V_\lambda = \bigcup_{\beta<\lambda} V_\beta$

定义 $\mathrm{WF} = \bigcup_{\alpha \in \mathbf{On}} V_\alpha$。

对任意序数 $\alpha$，$V_\alpha$ 是传递的：

若 $\xi \leq \alpha$，则 $V_\xi \subseteq V_\alpha$。

若 $\kappa$ 是不可达基数，则 $|V_\kappa| = \kappa$。

称 $R$ 在 $A$ 上是良基（well-founded）的，如果 $A$ 的非空子集均有极小元。

$\rm V$ 和 $\rm WF$ 都是真类，$\rm V$ 是所有集合构成的类。
实际上 $\rm WF$ 就是所有良基的集合构成的类。

若 $x \in \rm WF$，那么最小的满足 $x \in V_\alpha$ 的 $\alpha$ 一定是后继序数。

因此定义 $\mathrm{rank}(x) = \min{\alpha \,|\, x \in V_{\alpha+1}}$。

$$V_\alpha = \{ x \in \mathrm{WF} \,|\, \mathrm{rank}(x) < \alpha \}$$
对 $y \in \rm WF$，若 $x \in y$，则 $x \in \rm WF$。
对 $x, y \in \rm WF$，若 $x \in y$，则 $\mathrm{rank}(x) < \mathrm{rank}(y)$。
对 $y \in \rm WF$，$\mathrm{rank}(y) = \sup{\mathrm{rank}(x) + 1 \,|\, x \in y}$。

这说明 $\rm WF$ 的集合按照秩分层，每一集合的元素出现在下面的层次中，下层的集合都包含于上层的层次中，称这样的结构为层垒谱系（Cumulative hierarchy），是集合论语言的一个模型，且 $\rm WF$ 蕴涵正则公理。

$\rm WF$ 包含所有序数，且它们的秩就是自己。

若 $\alpha \in \rm On$，则 $\alpha \in \rm WF$ 且 $\mathrm{rank}(\alpha) = \alpha$，$V_\alpha \cap \rm On = \alpha$。

$\rm WF$ 对集合论运算封闭：

若$x \in \rm WF$，则$\bigcup x$，$\mathcal{P}(x)$ 以及${x}$ 都属于$\rm WF$，且它们的秩都小于$\mathrm{rank}(x) + \omega$。
若$x, y \in \rm WF$，则$x \times y$，$x \cup y$，$x \cap y$，${x, y}$，$(x, y)$，$x^y$ 都属于$\rm WF$，且它们的秩都小于$\mathrm{rank}(x) + \mathrm{rank}(y) + \omega$。
$\mathbb{Z, Q, R} \in V_{\omega+\omega}$。
对集合$x$，$x \in \rm WF$ 当且仅当$x \subset \rm WF$。

对任意集合$x$，存在一个最小的传递集包含$x$，称为$x$ 的传递闭包，记作$\mathrm{trcl}(x)$：

$$\mathrm{trcl}(x) = x \cup \bigcup \{\mathrm{trcl}(y) \,|\, y \in x\}$$

下列命题等价：

$X \in \rm WF$。
$\mathrm{trcl}(X) \in \rm WF$。
$\in$ 是$\mathrm{trcl}(X)$ 上的良基关系。

在$\mathrm{ZF}^-$（即$\rm ZFC$ 减去正则公理）中，下列命题等价：

正则公理。
对任意集合$X$，$\in$ 是$X$ 上的良基关系。
$\mathrm{V} = \mathrm{WF}$。

模型论（Model theory）

对于集合论语言$\mathcal{L} = {\in}$，$\mathfrak{A} = (A, E)$ 是$\mathcal{L}$ 的一个结构（structure），如果$E = {(a, b) \in A \times A \,|\, a \in b}$。

称$\mathfrak{A}$ 是传递的如果$A$ 是传递的。

实际上就是给$\mathcal{L}$ 中的每个符号指派一个$A$ 中合适语义实体，而$E$ 就代表了$\in$ 关系。
在一阶逻辑中，合适指的是给$n$-元函数符号指派$n$-元函数，给$n$-元谓词符号指派$n$-元关系，给$0$-元函数符号指派常数，（给$0$-元谓词符号指派真值${0,1} = {F,T}$）。

对公式$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$，$\mathfrak{A}$ 满足$\varphi$ 指的是，存在$\mathfrak{A}$ 中元素$a_1, \cdots, a_n$，如果把自由变元$x_1, \cdots, x_n$ 指派为$a_1, \cdots, a_n$，则$\varphi$ 成立。

记住$\mathfrak{A} \models \varphi[a_1, \cdots, a_n]$，也记作$\mathfrak{A} \models \varphi[\sigma]$，其中$\sigma = {(x_1, a_1), \cdots, (x_n, a_n)}$。

若$\varphi$ 是语句，则$\mathfrak{A} \models \varphi$ 表示$\mathfrak{A}$ 是$\varphi$ 的模型，或$\varphi$ 在$\mathfrak{A}$ 中为真。
如果语句集$\Gamma$ 的所有语句都在$\mathfrak{A}$ 中为真，则称$\mathfrak{A}$ 是$\Gamma$ 的模型，记作$\mathfrak{A} \models \Gamma$。

无穷理论（二）集合论第一讲

https://blog.tsinbei.com/archives/1155/