2023-02-13

无穷理论（三）无穷也能比大小？深层次细讲无穷理论

大家好，本篇文章主要内容是无穷层面的大小比较，并顺带作为无穷的第二讲，第一讲请点击下面链接

PS：第一讲侧重于连根式和连分数，但详细讲解了基数和序数，以及连续统假设包括∞=∞+1，并阐述了0.999循环=1的问题，有兴趣可以根据目录选择性的阅读，我们本次的问题是因为在第一讲中出现了大量符号，比如ℵ和ω，而这些符号之间的关系和代表的内容却让很多人迷茫，今天便来揭晓

PS:一些不理解的属于在第一讲全部解释过了，本文不再解释，可自行翻阅

PS:本文顺序皆由小及大

最小的无限数-可数无穷大-阿列夫0 $$ℵ_0 ω_0$$

而自然数组成一个集合，但是这个集合的元素是无限的，那么这个集合的基数就是阿列夫零（见第一讲有关基数的讲解）

介绍：在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称艾礼富数，阿列夫数是一连串超穷基数。其标记符号为ℵ（由希伯来字母א演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ₀，下一个较大的势为ℵ₁，再下一个是ℵ2，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数α定义一个基数

这一概念来自于格奥尔格·康托尔，他定义了势，并认识到无限集合是可以有不同的势的。

阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限(∞)不同。阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。所有的实数组成一个集合，这个集合的基数就记做阿列夫

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：

ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；

考虑良序集按照某种同构关系划出的等价类；

如上定义的等价类有一个特点：可比较，

设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：

由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。所有这些等价类将做成一集，记为Z(ℵa)。
Z(ℵa)也是良序集。

定义ℵa+1:=card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数

而$ℵ_0$和$ℵ_1$不存在有一个集合的势介于他俩之间（见第一讲连续统假设）

当用 ℵ₀ 这个符号时，强调的是我们在考察集合的基数，当用 ω 这个符号时，强调的是我们在考察集合的序数

以下集合的势均为阿列夫0

1.所有整数的集合，

2.整数的任何无限子集，例如所有平方数的集合或所有素数的集合，

3.所有有理数的集合，

4.所有可构造数的集合（在几何意义上），

5.所有代数数的集合，

6.所有可计算数的集合，

7.所有有限长度的二进制字符串的集合，以及任何给定可数无限集合的所有有限子集的集合

我们认为存在一个集合ω，它包含且只包含所有的有限序数，即ω = {0, 1, 2 ...} （其实就是自然数集）。可以看到，对ω里的任意n，不管n排在多少数之后，都存在排在n之后的数（比如n⁺）也在ω里面

ω排在所有有限序数之后

扩展有限序数顺序的定义，我们认为ω排在所有有限序数之后，因为所有有限序数都在ω里面。又因为ω只包含有限序数而别无其他，我们认为ω是紧随所有有限序数之后的下一个序数，即ω是最初的无限序数。直观地，可以写出如下序列：0, 1, 2, ... , ω

ω之后的后继序数

扩展有限序数后继的定义，可以继续对ω取后继。无非就是对序列 0, 1, 2, ... , ω 再进行封装，得到 ω⁺ = {0, 1, 2, ... , ω}。于是又可以无限继续下去：ω⁺⁺ = {0, 1, 2, ... , ω, ω⁺}，ω⁺⁺⁺ = {0, 1, 2, ... , ω, ω⁺, ω⁺⁺}，...

把上标n个⁺记作+n，比如把ω⁺⁺⁺写作ω+3。那么可以写出如下序列：0, 1, 2, ... , ω, ω+1, ω+2, ...

因为阿列夫0是可数无穷大，所以可以求幂集，求出的幂集的势比阿列夫0大，即阿列夫1，阿列夫1是不可数集合(在第一讲已经介绍)

与阿列夫0等势的无穷

比如2ω可以理解为“有理数集”加“加了pi的有理数集”，又比如实数集比有理数集大，前面对2ω的解释在第一讲中已经详细解释，各位可以自行查阅

不可数无穷大-阿列夫1 $$ℵ_1 ω_1 Ω$$

$$2^{ℵ_0}=ℵ_1$$

ℵ1是所有可数序数集合的势，称为ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数，因此它为一个不可数集。同时可以把它看作实数集或者有理数集合的笛卡尔积

如果你听说过阿列夫零，那么也一定听说过阿列夫一（ℵ₁）。它是比ℵ₀大的下一个基数，也即不能与ℵ₀一一对应的最小序数。但是它真的存在吗？它的本体是什么呢？我们已经看到一大票无限序数与ℵ₀一一对应（对任意有限序数n，|ω + n| = ℵ₀），那 ω+ω 呢？它会不会就是不能与ℵ₀一一对应的最小序数？

我们还是先看 ℵ₀ 与 ω+ω 分别有哪些元素

maths

     ℵ₀  = {0, 1, 2, ...  } 
ω+ω = {0, 1, 2, ... ω, ω+1, ω+2, ... }   
  

直观上，ω+ω就是在一个ω后面再接了一个ω。我们可以这样把它们与ℵ₀一一对应：

maths

     0   1   2   3   4   5   6   7  　...　 2n  2n+1   ...
|   |   |　　|   |   |   |   |  　...   |    |    ...
0   ω   1  ω+1  2  ω+2  3  ω+3 　...   n   ω+n   ...  
  

实际上，可以证明ω^ω也与ω一一对应，以至于用递归的方法（序数的无穷阶梯这一节中所介绍那种方法）能够定义出的所有序数都与ω一一对应。鉴于科普文的限制，这里就无法把这些直观的展现出来了。而且在本文所假设的集合论前提知识下无法得到更大的无穷大。但借助目前公认的集合论理论中的另一个工具，幂集公理，可以得到不与ℵ₀一一对应的最初序数ω₁，它就是ℵ1

我们来看看维基百科的说明（PS:过内在此之上再无任何相关资料，本文算是第一篇

An example application is "closing" with respect to countable operations; e.g., trying to explicitly describe the σ-algebra generated by an arbitrary collection of subsets (see e.g. Borel hierarchy). This is harder than most explicit descriptions of "generation" in algebra (vector spaces, groups, etc.) because in those cases we only have to close with respect to finite operations – sums, products, and the like. The process involves defining, for each countable ordinal, via transfinite induction, a set by "throwing in" all possible countable unions and complements, and taking the union of all that over all of $$ω_1$$

文中提到了超限归纳，在第一讲中的序数的无穷阶梯已经涉及，具体可以参考阅读

意思就是说为每个可数序数定义一个集合，方法是“抛入”所有可能的可数并集和补集，并将所有这些集合置于$$ω_1$$

与阿列夫1等势的无穷

$ω_2$可以理解为二维空间的所有曲线集合

$ω_3$可以理解为三维空间一切空间点集

这些无穷都和阿列夫1等势，前面全部解释过，不再多说

从这里往后的每一个无穷都会陷入理论的盲区，资料极少

阿列夫2,3,4.... $ℵ_2,ℵ_3,ℵ_4.....$ 与相关思考

$ℵ_2$是实数集的幂集的基数，在广义连续统假设成立下，阿列夫2存在。同理在连续统假设成立下，阿列夫1存在。也可以把阿列夫2看作曲线的总数。这个数等同于所有可能构造出的“形状”的总数。这里的“形状”是由无数条“曲线”所构成的。我们可以定义为已知任意维向量空间中的任意个点，以及这些点中任意两点之间距离。“形状”就是基于这些信息构造出的图形

但是最好可以把$ℵ_2$看作R→R的函数，因为R上有不可测集是不能当曲线的。下面为了写的简单，还是说曲线代指，这时广义连续统假设对基数是阿列夫3的集合不再成立，阿列夫3就不是曲线集合的全体子集构成的集合的基数了。我们说阿列夫3是把全体曲线的集合排成不同构的良序的数量

而我们却无法知道$ℵ_3$是什么

在不接受连续统假设的情况下，我们仍然可以尝试用公理化语言构造出一个$ℵ_1$，我们可以称之为“所有可数序数组成的集合的势”，然而这个定义在除集合论以外的讨论中并没有太大的意义。因为这个用序数来定义的集合的基数也是一个序数，而其一般在集合论中也是在讨论其序数的性质，所以我们一般把这个基数从序数层面来表述，用$$ω_1$$来表示，而不用阿列夫表示

连续统假设虽然称之为一个“假设”，然而事实上现在大家已经发现，连续统假设无法在现有的集合公理体系（即策梅洛-弗兰克尔集合论，也就是ZFC公理）下证明或者证伪，所以我们只有选择接受或者不接受这个假设作为讨论前提。就如同大家都熟悉的平行公设一样，接受或者不接受分化成了不同的分支，有着不同的意义

阿列夫3、阿列夫4是什么，用一下康托尔定理就可以回答：阿列夫3是所有曲线组成的集合的子集组成的集合的势，阿列夫4是阿列夫3的子集组成的集合的势，但是没有任何实际意义，不得说他们存在（在第一讲已经说明康托尔定理）

PS:阿列夫2是真的盲区，全网没有任何相关资料，以上内容都是从各方面得来的，无法保证一定的准确性，有问题欢迎在评论区指出

余积和无穷乘积

无穷乘积(infinite product)是把无穷序列的各项用乘号连结得到的表达式

若将序列看做集合，它的元素称为序列的项，但序列并非一般的集合，序列的项有先后次序，并且不同的项可以是相同的元素。序列可以只有有限项，称为有限序列，不只有限项的序列称为无穷序列，这是数学分析中通常讨论的对象。序列按各项顺序排列可写为a1，a2，…，an，…，简记为{an}。排在第n位的项an称为第n项，把n看做在自然数集N中变动时，亦把an称为通项。

设{un}为一序列，u1u2...un…或记为$$\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty } u_{n}$$称为无穷乘积

余积是无穷乘积的一部分，指无穷乘积去掉前有限个因子的结果

对无穷乘积$\displaystyle \prod u_{n}$

$$ \prod _{n >m} u_{n} =\prod _{n=1}^{\infty } u_{m+k} $$

称为它的余积

若所有

$$u_{n} \neq 0$$

则$$\prod u_{n} 收敛，当且仅当它的余积收敛$$

若$\prod u_{n}$收敛，则

$$ \lim _{m\rightarrow \infty }\prod _{n >m} a_{n} =1 $$

我们也把余积记作$\coprod $